Introduction :

Les types de problèmes et leur schématisation :

Les schémas « en barre » relatifs à chacun de ces types de problèmes sont présentés dans la suite de ce document. Ils ont plusieurs rôles : aider à la structuration de la procédure, permettre des échanges entre élèves, aider à la modélisation, construire le sens des opérations mais aussi proposer une introduction non explicite à l’algébrisation. Bien sûr, ils doivent être pensés comme des outils au service des élèves. Cela signifie qu’ils sont apportés progressivement, que les élèves doivent les construire et apprendre à les utiliser pour résoudre des problèmes qui leur résistent, mais ils doivent aussi apprendre à s’en passer lorsque la modélisation ne représente plus une difficulté. Ainsi, on n’oblige pas les élèves à schématiser systématiquement, mais on s’assure qu’ils en sont capables, car inévitablement, ils rencontrent des problèmes qui les obligent à y recourir pour structurer leur raisonnement, organiser les données, trouver la bonne modélisation.

Didactique et pédagogie :

Dans le passage à l'abstraction, la manipulation d'objets réels est nécessaire, il est donc important de donner l'occasion aux élèves d'aborder la résolution de problèmes par la manipulation (et ce, tout au long de la scolarité). De plus, nous avons pu observer qu’il est important que les enseignants puissent jouer les situations des énoncés devant leur classe à l'aide d'ardoises, de boites, de cubes... Par ces deux leviers pédagogiques axés sur la manipulation et l’oral, l’enseignant va permettre aux élèves de donner du sens à la schématisation et ainsi proposer une structuration des démarches de résolution. L’élève va pouvoir se construire des procédures porteuses de sens, qu’il pourra contrôler à l’aide de représentations, du matériel ou mentalement.  

Dans les prochains temps, nous vous proposerons d’échanger sur ce point, mais aussi sur la programmation et la progressivité des apprentissages sur chaque année du CP au CM2.

Notre objectif est d'outiller l'élève dans la résolution de problèmes. Après un premier temps de reformulation orale pour permettre aux élèves de construire une représentation mentale de l'énoncé, nous essayons de mesurer à quelles conditions la schématisation peut constituer un levier pour modéliser. Pour cela, les schémas présentent une même logique qui doit permettre à l’élève de structurer facilement sa représentation et sa procédure de résolution.

Il nous faudra aussi réfléchir aux problèmes qui ne peuvent être schématisés de cette façon et ceux qui ne peuvent pas être schématisés par les élèves (soit parce que la schématisation n’est pas adaptée à un élève de primaire, soit parce qu’elle ne constitue pas une aide à la résolution du problème).

Par l’identification des problèmes en fonction de procédures de résolution possibles, nous espérons être en mesure d’aider les enseignants dans l’enseignement de la résolution de problèmes. 

Concernant le choix des problèmes, leur progression :

Pour engager vos élèves dans la schématisation, nous vous conseillons de partir de problèmes naïfs, c'est à dire des problèmes que les élèves sont en mesure de rencontrer et de résoudre dans leur quotidien. Comme nous le savons, si le contexte du problème n’est pas connu, il doit être préalablement explicité au cours de la reformulation.

De même, il est nécessaire de proposer des énoncés mettant en œuvre des petites quantités afin de faciliter la représentation mentale et la validation des résultats. La taille des nombres est une variable didactique qui permet de placer l'élève dans une situation d'abstraction. Il convient de ne pas proposer ce travail d’abstraction trop rapidement afin de laisser le temps à la représentation et d’assurer une bonne compréhension.

La progression est construite de façon spiralaire sur l’ensemble du cursus élémentaire. 

Prenons l’exemple des problèmes additifs de combinaison, transformation et comparaison :

Nous vous proposons d'aborder les problèmes de combinaison en premier, et d'introduire progressivement des problèmes de transformation, puis de comparaison, sans pour autant que le précédent type soit parfaitement construit. Les différents types de problèmes se comprennent bien les uns en relation aux autres, il est donc nécessaire de confronter les élèves à différents types de problèmes simultanément.

Il est important que les élèves travaillent ces problèmes dans trois directions :

• Je pars d'un énoncé, je trouve le schéma et je résous le problème.
• Je choisis parmi les 3 schémas affichés au tableau, celui qui va permettre de résoudre le problème que l'on vient de me lire ; je justifie mon choix dans la mise en commun.
• J'invente un énoncé qui correspond à l'un des trois schémas.

Concernant l’activité de l’élève :

Ce que l’on espère de l’élève :

Après un temps de reformulation du problème, l’élève doit pouvoir se représenter mentalement le problème. (Au besoin, il peut s’aider d’une représentation figurée).

Prenons l’exemple des problèmes additifs de combinaison, transformation et comparaison :

Une fois le travail de représentation mentale ou figurée effectué, l’élève peut reconnaître le type de problème qui se présente à lui. Est-ce un problème où je peux « prendre une photo » (je combine deux éléments, il n’y a pas d’action), « faire le film » (je transforme un élément en retirant ou en ajoutant des éléments) ou est-ce que je reconnais une situation de comparaison (j’entends des mots inducteurs : « de plus que », « de moins que » …) ?

Ensuite, je dois identifier ce que je cherche, ce qui me permet de placer l’inconnue dans le schéma choisi. « Est-ce que je cherche l’état final ? Le tout ? L’écart ? … ».

Enfin, dans les problèmes de transformation et de comparaison, je dois répondre à la dernière question : « Est-ce qu’il y en avait plus au début ou à la fin ? Est-ce que Christian en a plus ou est-ce que c’est Ludivine ? ».

Ceci afin de finaliser le schéma et de trouver l’opération correspondante sans risque de confusion liée au lexique.

Pour les élèves en difficulté, il est très important que ces étapes soient clairement explicitées et rappelées chaque fois que c’est nécessaire. Lors de la résolution, ils doivent pouvoir y avoir accès.

Problèmes multiplicatifs et à étapes :

Les schémas liés à la combinaison de plusieurs états, à la multiplication ou à la division sont directement rapprochés des schémas de combinaison. Le schéma de comparaison multiple s’appuie sur le schéma de comparaison, il est lui aussi construit sur la même logique que les premiers schémas. Enfin, le schéma lié à la division euclidienne et les schémas utilisés lors de la résolution de problèmes à étapes conservent eux-aussi cette même structure logique.

Concernant les autres types de problèmes.

La tâche de l’enseignant sera d’accompagner l’élève dans la compréhension des analogies entre problèmes, et entre schémas, afin de lui permettre de devenir autonome et de construire des compétences de résolution transférables à de nouveaux problèmes (même lorsque ceux-ci ne se schématisent pas aisément, lorsque le schéma n’est pas le moyen le plus efficace, ou lorsqu’il n’est pas utile).

Les schémas

Dans chaque schéma, l'inconnue doit être ajoutée dans le schéma sous la forme d'un point d'interrogation.

Problèmes de combinaison d'état

Tout
Partie 1	Partie 2

Recherche d'un des deux états.

Une famille de 4 personnes est partie 7 jours au ski. Le forfait familial pour la semaine coûte 750 euros. La famille a loué du matériel (surfs et chaussures). En tout, elle dépense 1150 euros. Combien lui a coûté la location du matériel ?

Tout
Partie 1	?

Recherche du tout

Je suis parti de Besançon à 7 h 45. J’ai parcouru 250 kilomètres avant de faire une pause près de la ville d’Auxerre. Il était alors 10 h 10 min. J’ai ensuite repris la route. Je suis arrivé à Paris à 12 h 15 en parcourant 169 kilomètres supplémentaires. Quelle distance sépare Paris de Besançon ?

?
250	169

Problèmes de transformation d'état

Recherche de l'état final.

A la bibliothèque municipale, il y avait 12780 livres. La bibliothécaire supprime 752 livres anciens ou abîmés. Combien en reste-t-il après cette suppression ?

Recherche de la transformation.

En début de CM2 Julie mesurait 135 cm. A la fin de l'année, elle mesure 144 cm. De combien de centimètres a-t-elle grandi ?

Recherche de l'état initial.

Virgil a gagné 75 euros en jouant au loto. Il a maintenant 220 euros dans sa tirelire. Combien d’argent avait-il avant de gagner au loto ?

Pour introduire les problèmes de transformation d'état, on pourra proposer plusieurs énoncés avec combinaison d'état et un de transformation. On recherche les informations que l'on trouve dans ce type de problème et qu'on n'a pas dans l'autre : la chronologie, l'action qui se déroule.
Le confronter aux schémas déjà connus, présenter le nouveau.

Problèmes de comparaison d’état :

Pour introduire les problèmes de comparaison d'état, on pourra proposer un énoncé mettant en jeu la comparaison de la hauteur de 2 tours de cubes ou de la taille de deux élèves.

État 2	Écart
	Etat 1

Recherche de l'écart

En 2015, la ville de Saône compte 3326 habitants tandis que 5474 personnes vivent à Valdahon. Combien y en a-t-il de plus à Valdahon qu’à Saône ?

5474	?
	3326

Recherche d'un état

Aline est arrivée 59ème au cross du collège. Elle a terminé 8 places devant Adrien. A quelle place Adrien est-il arrivé ?

59	8
	?

Problèmes de combinaison de plusieurs états :

?
Partie 1	Partie 2	Partie 3	Partie 4

Recherche du tout

Dans mon club de hand-ball, il y a 29 enfants de 6 à 7 ans, 26 enfants de 8 à 9 ans, 31 enfants de 10 à 11 ans et 37 enfants de 12 à 13 ans. Combien d’enfants sont licenciés dans l’ensemble de ces 4 catégories ?

Problèmes multiplicatifs et de division :

Recherche du nombre total d'éléments

Chaque mois, Lucien reçoit 12 euros d’argent de poche. Il veut s’acheter un jeu à 43 euros. Il économise pendant 4 mois. Aura-t-il assez d’argent pour acheter le jeu ?

?
12	12	12	12

Recherche du nombre de parts

Un dîner au restaurant entre amis coûte 64 euros. Chacun a payé 16 euros. Combien d’amis ont participé au repas ?

64
16	... ? ...	16

Recherche de la valeur d’une part

Franck a 30 bonbons. Il veut les partager équitablement avec ses 4 copains. Combien chacun en aura-t-il ?

30
?	?	?	?	?

Problèmes de comparaison multiplicative :

Etat 2	Etat 1
	Etat 1
	Etat 1
	Etat 1

Recherche du résultat

J’ai 28 images, Marie en a 3 fois plus que moi. Combien en a-t-elle ?

?	28
	28
	28

Recherche du rapport (nombre de fois)

Karine mesure la longueur de deux rubans. Le jaune mesure 128 cm, le vert 496 cm. Combien de fois le vert est-il plus grand que le jaune ?

496	128
	... ? ...
	128

Problèmes de division avec reste :

Nombre total d'éléments
Part	Part	Part	Part	Reste

Recherche du nombre de parts (avec reste)

Le fleuriste dispose de 47 fleurs qu’il répartit en bouquets de 6 fleurs. Combien peut-il constituer de bouquets ?

47
6	... ? ...	6	Reste

Recherche de la valeur d'une part

La maîtresse a acheté 175 crayons pour les 4 classes de l’école. Elle souhaite les distribuer équitablement. Combien de stylos pourra-t-elle donner à chaque classe ?

175
?	?	?	?	Reste

Problèmes avec étapes :

Tout
Partie 1	Partie 1	Partie 1	Partie 1	Partie 1	Partie 1	Partie 2	Partie 2	Partie 2

Recherche du tout

Une maîtresse achète des livres pour la bibliothèque. 6 livres à 20 Euros l’un et 3 magazines à 5 Euros chacun. Combien dépense-t-elle en tout ?

?
20	20	20	20	20	20	5	5	5

Recherche de la valeur d’une part

Pour la fête du village, François fabrique du jus de poires et de pommes. Il presse 5 cagettes de 11 kg de poires. Il presse aussi 4 cagettes de pommes. En tout il presse 87 kg de fruits. Combien pèse chaque cagette de pommes ?

87
11	11	11	11	11	?	?	?	?

Recherche de la valeur d’une part

Pour organiser un voyage scolaire, la directrice de l’école a réservé des cars pour emmener les 235 élèves et accompagnateurs. Dans le 5ème bus, plus petit que les autres, il y a 27 personnes. Sachant que les 4 autres bus sont identiques et qu’ils sont complets, combien de personnes transportent chacun des 4 autres cars.

215
?	?	?	?	27

Recherche de la valeur d’une part et prise en compte du reste

Les supporters d’un club de rugby sont partis en cars pour assister à la finale du championnat régional. Pour cela, ils ont loué des cars de 52 places chacun. 245 supporters ont participé au voyage. Combien de cars l’amicale des supporters a-t-elle dû réserver ?

245
?	?	?	?	Reste

165
25	25	25	25	25	10	... ? ...	10

Il y avait 47 enfants dans un bus. Au premier arrêt, 14 enfants sont descendus. Au deuxième arrêt, 17 enfants sont montés. Combien y a-t-il d’enfants dans le bus maintenant ?

Etape 1 :

Etape 2 :

Il y avait des enfants dans un bus. Au premier arrêt, 14 enfants sont descendus. Au deuxième arrêt, 27 enfants sont montés. Il y a maintenant 57 enfants dans le bus. Combien y a-t-il d’enfants dans le bus avant le premier arrêt ?

Etape 1 :

Etape 2 :

Léo a 37 billes de plus que Lucie et Zoé a 19 billes de moins que Lucie. Zoé a 46 billes. Combien de billes a Léo ?

Etape 1 :

? - Léo	37
	? - Lucie

Etape 2 :

? - Lucie	19
	46 - Zoé

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Cyril Pasteur et Charles Perritaz - Conseillers pédagogiques Besançon 2
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